ⓘ Онлайн энциклопедия. Вы знали? стр. 52




                                               

Максимальный тор

Максимальный тор связной вещественной группы Ли G {\displaystyle G} - связная компактная коммутативная подгруппа Ли T {\displaystyle T} в G {\displaystyle G}, не содержащаяся ни в какой большей подгруппе такого типа.

                                               

Неопределённая ортогональная группа

Неопределённая ортогональная группа O {\displaystyle \mathrm {O} } - это группа Ли всех линейных преобразований n -мерного вещественного векторного пространства, которые оставляют инвариантной невырожденную симметричную билинейную форму с сигнату ...

                                               

Нильмногообразие

Всякое нильмногообразие является пространством ориентируемого расслоения со слоем окружность над нильмногообразием меньшей размерности. Это свойство можно также взять за определение нильмногообразия, если предположить, что в размерности ноль точк ...

                                               

Однопараметрическая группа

Определение однопараметрической группы или однопараметрической подгруппы связано с непрерывным гомоморфизмом группы φ: R → G {\displaystyle \varphi:\mathbb {R} \rightarrow G} с вещественной прямой R {\displaystyle \mathbb {R} } как аддитивной гру ...

                                               

Ортогональная группа

Ортогональная группа - группа всех линейных преобразований n {\displaystyle n} -мерного векторного пространства V {\displaystyle V} над полем k {\displaystyle k}, сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму Q {\displaystyle Q} на V ...

                                               

Проективная группа

Проективная группа - группа преобразований проективного пространства, индуцируемых линейными преобразованиями соответствующего векторного пространства. Её элементы называются проективными преобразованиями - они обобщают проективные преобразования ...

                                               

Простая группа Ли

Простая группа Ли - группа Ли, не имеющая нормальных подгрупп, кроме тривиальных, состоящих из единицы группы и всей группы. Близким понятием является "полупростая группа Ли", которая не имеет абелевых инвариантных подгрупп, опять-таки, кроме три ...

                                               

Симплектическая группа

В математике термин симплектическая группа может относиться к двум различным, но тесно связанным типам групп, обозначаемых Sp и Sp. Последние иногда называют компактными симплектическими группами в отличие от первых. Используются и слегка отличаю ...

                                               

Система корней

Система корней в математике - конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам. Эта концепция является фундаментальной в теории групп Ли и алгебр Ли. Диаграммы Коксетера - Дынкина использующие ...

                                               

Специальная унитарная группа

Специальная унитарная группа - группа унитарных матриц заданного порядка с определителем, равным 1, и произведением матриц как групповой операцией; для матриц размером n × n {\displaystyle n\times n} обозначается S U {\displaystyle \mathrm {SU} } ...

                                               

Форма Киллинга

Форма Киллинга была введена Картаном в его диссертации. Название "форма Киллинга" впервые ввёл Борель в 1951 году в честь Вильгельма Киллинга. В 2001 году он заявил, что не помнит, почему он выбрал именно это название и утверждает, что было бы бо ...

                                               

Формула Бейкера - Кэмпбелла - Хаусдорфа

В математике, формула Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа определяет выражение для Z {\displaystyle Z} из следующего равенства e X e Y = e Z {\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}} здесь X и Y возможно некомутирующие матрицы. Существует несколько вариантов для ...

                                               

Экспонента матрицы

Экспонента матрицы - матричная функция от квадратной матрицы, аналогичная обычной экспоненциальной функции. Матричная экспонента устанавливает связь между алгеброй Ли матриц и соответствующий группой Ли. Для вещественных или комплексных матриц X ...

                                               

ADE-классификация

A D E {\displaystyle ADE} -классификация - полный список однониточных диаграмм Дынкина - диаграмм, в которых отсутствуют кратные рёбра, что соответствует простым корням в системе корней, образующим углы π / 2 {\displaystyle \pi /2} или 2 π / 3 {\ ...

                                               

F₄ (математика)

В математике, F 4 - название одной из пяти особых простых групп Ли, а также её алгебры Ли f 4 {\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}}. F 4 имеет 4 ранг и размерность 52. Группа F 4 односвязна, а её группа внешних автоморфизмов тривиальна. Простейшее ...

                                               

SO(8)

универсальное накрытие SO8 - спинорная группа Spin8. SO 8, как и все специальные ортогональные группы при n > 2 {\displaystyle n> 2}, неодносвязна, и её фундаментальная группа изоморфна Z 2. SO 8 - вещественная простая группа Ли ранга 4 и р ...

                                               

U(1)

U {\displaystyle U} в математике - мультипликативная абелева группа всех комплексных чисел, равных по модулю единице: { z ∈ C: | z | = 1 } {\displaystyle \{z\in \mathbb {C}:|z|=1\}}. Является также одномерной группой Ли и представляет собой окруж ...

                                               

Вариация поворота кривой

Если γ: \to \mathbb {S} ^{d-1}} образованной единичными касательными векторами τ s = γ s | γ s | {\displaystyle \tau s={\tfrac.

                                               

Дифференциальная геометрия кривых

Дифференциальная геометрия кривых - раздел дифференциальной геометрии, который занимается исследованием гладких пространственных и плоских кривых в евклидовом пространстве аналитическими методами.

                                               

Касательная прямая

Пусть функция f: U x 0 ⊂ R → R {\displaystyle f\colon Ux_{0}\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} } определена в некоторой окрестности точки x 0 ∈ R {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }, и дифференцируема в ней: f ∈ D x 0 {\displaystyle f\in {\mat ...

                                               

Кривые Бертрана

Кривые Бертрана - две пространственные кривые, имеющие во всех своих точках общие главные нормали. Были исследованы Ж.Л.Ф.Бертраном в 1850 г. Для пары кривых Бертрана: угол ω {\displaystyle \omega } между касательными в этих точках постоянен; рас ...

                                               

Натуральные уравнения

Натуральные уравнения - соотношения на кривизну и кручение бирегулярных кривых. Замечательное свойство натуральных уравнений в том, что по ним можно однозначно восстановить кривую. Натуральные уравнения, уравнения, выражающие кривизну k {\display ...

                                               

Теорема Пестова - Ионина

Теорема Пестова - Ионина - классическая теорема дифференциальной геометрии плоских кривых, обобщение теоремы о четырёх вершинах. Теорема сформулирована Абрамом Ильичом Фетом, доказана Германом Гавриловичем Пестовым, его доказательтво существенно ...

                                               

Теорема Фари - Милнора о повороте узла

Теорема Фари - Милнора - утверждает что вариация поворота любого узла превышает 4 ⋅ π {\displaystyle 4\cdot \pi }. Вопрос был сформулирован Каролем Борсуком и доказан независимо Иштваном Фари в 1949 и Джоном Милнором в 1950.

                                               

Теорема Фенхеля о повороте кривой

Теорема фенхеля утверждает, что вариация поворота любой замкнутой кривой не меньше 2 ⋅ π {\displaystyle 2{\cdot }\pi } и равенство достигается только в случае выпуклой плоской кривой. В частности, средняя кривизна замкнутой кривой длины ℓ {\displ ...

                                               

Асимптотическая кривая

Асимптотическая кривая - кривая γ = γ {\displaystyle \gamma =\gamma } на гладкой регулярной поверхности F {\displaystyle F} в евклидовом пространстве, в каждой точке касающаяся асимптотического направления поверхности F {\displaystyle F}, т.е. та ...

                                               

Дифференциальная геометрия поверхностей

Дифференциальная геометрия поверхностей - раздел математики, изучающий поверхности методами дифференциальной геометрии. При этом исследуемые поверхности обычно подчинены условиям, связанным с возможностью применения методов дифференциального исчи ...

                                               

Индикатриса Дюпена

Индикатриса Дюпена лежит в плоскости, касательной к поверхности S {\displaystyle S} в точке p {\displaystyle p}, и является совокупностью концов отрезков, отложенных от точки p {\displaystyle p} в направлении u {\displaystyle u} в касательной пло ...

                                               

Линейчатая поверхность

Линейчатая поверхность ― поверхность, образованная движением прямой линии. Прямые, принадлежащие этой поверхности, называются прямолинейными образующими, а каждая кривая, пересекающая все прямолинейные образующие, направляющей кривой. Если p u {\ ...

                                               

Неравенство Пу

Неравенство Пу даёт нижнюю оценку на площадь проективной плоскости с римановой метрикой через длину кратчайшей нестягиваемой замкнутой кривой. Является одним из фундаментальных утверждений систолической геометрии. Неравенство доказал Баомин Пу в ...

                                               

Первая квадратичная форма

Первая квадратичная форма поверхности ― квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Первая квадратичная форма часто обозначается I {\displaystyle \mathr ...

                                               

Поверхность Дарбу

Поверхность Дарбу - двумерная поверхность F 2 в трёхмерном евклидовом пространстве E 3, на которой определен и тождественно равен нулю тензор Дарбу. Тензор Дарбу - это трижды ковариантный симметрический тензор третьего порядка, определённый на по ...

                                               

Полугеодезические координаты

Полугеодезические координаты или геодезические нормальные координаты ― координаты x 1, x 2., x n {\displaystyle x_{1},x_{2}.,x_{n}} в n {\displaystyle n} -мерном римановом многообразии, характеризующиеся тем, что координатные линии, соответствующ ...

                                               

Развёртывающаяся поверхность

Развёртывающаяся поверхность в дифференциальной геометрии ― поверхность, обладающая нулевой гауссовой кривизной. Такая поверхность при помощи изгибания может быть наложена на плоскость. Обратно, развёртывающаяся поверхность может быть получена пр ...

                                               

Сапог Шварца

Сапог Шварца - семейство приближений кругового цилиндра с помощью полиэдральных поверхностей. Предельная площадь этих приближений может быть сделана произвольно большой. Эта конструкция позволяет увидеть несостоятельность определения площади пове ...

                                               

Сеть Лиувилля

Сеть Лиувилля ― сеть линий на поверхности, в параметрах которой линейный элемент поверхности имеет вид d s 2 = U + V d u 2 + d v 2 {\displaystyle ds^{2}=U+Vdu^{2}+dv^{2}}, где U = u {\displaystyle U=Uu}, V = v {\displaystyle V=Vv}. Названы в чест ...

                                               

Тензор Дарбу

Компоненты тензора Дарбу Θ {\displaystyle \Theta } двумерной поверхности F 2 с ненулевой гауссовой кривизной K в евклидовом пространстве E 3 вычисляются по формулам: Θ i j m = ∇ m b i j − b i j ∇ m K + b m i ∇ j K + b j m ∇ i K 4 K, i, j, m = 1, ...

                                               

Теорема Адамара о вложении

Теорема приписывается Жаку Адамару; хотя в его статье теорема не сформулирована, её можно получить несложным дополнительным рассуждением. Точная формулировка и обобщения были даны Джеймсом Стокером, он же приписывает этот результат Адамару. Дальн ...

                                               

Теорема Бернштейна о седловом графике

Утверждение теоремы неверно без предположения что поверхность является графиком. Пример полной седловой поверхности лежащей между двумя праллельными плоскостями можно найти среди поверхностей вращения. Существуют также седловые графики лежащие в ...

                                               

Теорема Бонне

Теорема Бонне может означать: Теорема Бонне о поверхности Дарбу. Достаточное условие существования поверхности с данной первой и второй квадратичной формой, ― см. уравнения Петерсона ― Кодацци. Теорема Бонне о линейчатой поверхности.

                                               

Точка округления

Точка округления ― точка на гладкой регулярной поверхности в евклидовом пространстве, в которой нормальные кривизны по всем направлениям равны. Название "омбилика" происходит от французского "ombilic", которое, в свою очередь, происходит от латин ...

                                               

Уравнения Петерсона ― Кодацци

Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци ― уравнения, составляющие вместе с уравнением Гаусса необходимые и достаточные условия интегрируемости системы, к которой сводится задача восстановления поверхности по её первой и второй квадратичным формам.

                                               

Форма объёма

Форма объёма - дифференциальная форма высшей размерности на гладком многообразии, которая не обнуляется ни в одной точке. Форма объёма позволяет определить интеграл функции по многообразию. Другими словами, форма объёма задаёт меру, по которой мо ...

                                               

Гладкое многообразие

Гладкое многообразие - многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры ...

                                               

Конформно плоское многообразие

Конформно плоское многообразие - риманово многообразие, каждая точка которого имеет окрестность, которая может быть конформно отображена на область евклидова пространства. Более формально, пусть M - псевдориманово многообразие с метрикой g. Тогда ...

                                               

Линзовое пространство

Линзовое пространство - многообразие нечётной размерности, являющееся факторпространством S 2 n − 1 / Z p {\displaystyle S^{2n-1}/\mathbb {Z} _{p}} сферы S 2 n − 1 {\displaystyle S^{2n-1}} по изометрическому свободному действию циклической группы ...

                                               

Параллелизуемое многообразие

Параллелизуемое многообразие - многообразие M {\displaystyle M} размерности n {\displaystyle n}, допускающее поле реперов e = {\displaystyle e=}, то есть n {\displaystyle n} линейно независимых в каждой точке векторных полей e i {\displaystyle e_ ...

                                               

Почти плоское многообразие

Почти плоское многообразие - гладкое компактное многообразие М такое, что для любого ε > 0 {\displaystyle \varepsilon > 0} на М существует риманова метрика g ε {\displaystyle g_{\varepsilon }}, такая, что diam ⩽ 1 {\displaystyle {\mbox{diam ...

                                               

Трубчатая окрестность

Трубчатая окрестность подмногообразия в многообразии - это открытое множество, окружающее подмногообразие и локально устроенное подобно нормальному расслоению.

                                               

Шершавое многообразие

Шершавое или несглаживаемое многообразие - топологическое многообразие, не допускающее гладкой структуры. Более точно, топологическое многообразие не гомеоморфное никакому гладкому многообразию.