ⓘ Онлайн энциклопедия. Вы знали? стр. 50




                                               

Предел (теория категорий)

Предел в теории категорий - понятие, обобщающее свойства таких конструкций, как произведение, декартов квадрат и обратный предел. Двойственное понятие копредела обобщает свойства таких конструкций, как дизъюнктное объединение, копроизведение, код ...

                                               

Представимый функтор

В теории категорий, представимый функтор - функтор специального типа из произвольной категории в категорию множеств. В некотором смысле, такие функторы задают представление категории в терминах множеств и функций.

                                               

Произведение (теория категорий)

Произведение двух или более объектов - это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов - это в некотором смы ...

                                               

Расслоённое произведение

Расслоённое произведение - теоретико-категорное понятие, определяемое как предел диаграммы, состоящей из двух морфизмов: X → Z ← Y. {\displaystyle X\to Z\leftarrow Y.} Расслоённое произведение часто обозначают как X × Z Y. {\displaystyle X\times ...

                                               

Симметричная моноидальная категория

В теории категорий, симметричная моноидальная категория - это моноидальная категория, в которой операция тензорного произведения "настолько коммутативна, насколько это возможно". В симметричной моноидальной категории для любых объектов выбран изо ...

                                               

Симплициальная категория

Симплициальная категория - категория непустых конечных ординалов, морфизмы которой - монотонные функции. Играет важную роль в алгебраической топологии, является основной для таких конструкций, как симплициальный объект и симплициальное множество. ...

                                               

Сопряжённые функторы

Сопряжённые функторы - пара функторов, состоящих в определённом соотношении между собой. Сопряжённые функторы часто встречаются в разных областях математики. Неформально, функторы F и G сопряжены, если они удовлетворяют соотношению H o m F X, Y) ...

                                               

Теорема Зейферта - ван Кампена

Теорема Зейферта - ван Кампена выражает фундаментальную группу топологического пространства через фундаментальные группы двух открытых подмножеств, покрывающих пространство. Названа в честь Герберта Зейферта и Эгберта ван Кампена.

                                               

Точный функтор

Точный функтор - функтор, который переводит точные последовательности в точные. Точные функторы удобны для вычислений в гомологической алгебре, поскольку их можно сразу применять к резольвентам объектов. Большая часть гомологической алгебры была ...

                                               

Универсальное свойство

Во многих областях математики полезную конструкцию часто можно рассматривать как "наиболее эффективное решение" определенной проблемы. Определение универсального свойства использует язык теории категорий, чтобы сделать это определение точным и из ...

                                               

Универсум Гротендика

Универсум Гротендика в математике - непустое множество U {\displaystyle {\mathcal {U}}}, такое что: если x ∈ U {\displaystyle x\in {\mathcal {U}}} и y ∈ x {\displaystyle y\in x}, то y ∈ U {\displaystyle y\in {\mathcal {U}}} ; если x ∈ U {\display ...

                                               

Уравнитель (математика)

Уравнитель в теории категорий - обобщение понятия решения некоторого уравнения, то есть множества, на котором данные отображения совпадают. Двойственное уравнителю понятие - коуравнитель.

                                               

Функтор (математика)

Функтор - особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в ...

                                               

Функтор Ext

Функторы Ext - производные функторы функтора Hom. Они впервые появились в гомологической алгебре, где они играют центральную роль, например, в теореме об универсальных коэффициентах, но теперь они используются во многих разных областях математики ...

                                               

Функтор Hom

В теории категорий множества Hom позволяют определить важные функторы в категорию множеств. Эти функторы называются функторами Hom и имеют многочисленные приложения в теории категорий и других областях математики.

                                               

Эквивалентность категорий

Эквивалентность категорий в теории категорий - отношение между категориями, показывающее, что две категории "по существу одинаковы". Установление эквивалентности свидетельствует о глубокой связи соответствующих математических концепций и позволяе ...

                                               

Экспоненциал

Экспоненциал - теоретико-категорный аналог множества функций в теории множеств. Категории, в которых существуют конечные пределы и экспоненциалы, называются декартово замкнутыми.

                                               

Элемент (теория категорий)

В теории категорий, понятие элемента обобщает обычное понятие элемента множества на объект произвольной категории. Иногда оно позволяет переформулировать свойства морфизмов, которые обычно описываются при помощи универсальных свойств в более прив ...

                                               

Эпиморфизм

Эпиморфизм в категории ― морфизм m: A → B {\displaystyle m:A\to B}, такой что из всякого равенства f ∘ m = h ∘ m {\displaystyle f\circ m=h\circ m} следует f = h {\displaystyle f=h}. Эпиморфизмы представляют собой категорный аналог понятия сюръект ...

                                               

Ядро (теория категорий)

Ядро в теории категорий - категорный эквивалент ядра гомоморфизма из общей алгебры; интуитивно, ядро морфизма f: X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} - это "наиболее общий" морфизм k: K → X {\displaystyle k\colon K\to X}, после которого применени ...

                                               

F-алгебра

В теории категорий F {\displaystyle F} -алгебра - это алгебраическая структура, связанная с функтором F {\displaystyle F}. F {\displaystyle F} -алгебры можно использовать в программировании для представления структур данных, таких как списки и де ...

                                               

Теория колец

Теория колец - раздел общей алгебры, изучающий свойства колец - алгебраических структур со сложением и умножением, схожими по поведению со сложением и умножением чисел. Выделяются два раздела теории колец: изучение коммутативных и некоммутативных ...

                                               

*-алгебра

*-алгебра - ассоциативная алгебра с инволюцией, которая имеет свойства подобные комплексному сопряжению.

                                               

Артиново кольцо

Артиново кольцо - ассоциативное кольцо А с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей: всякая последовательность идеалов p 1 ⊃ p 2 ⊃ ⋯ ⊃ p n ⊃ … {\displaystyle p_{1}\supset p_{2}\supset \dots \supset p_{n} ...

                                               

Булево кольцо

Булево кольцо - кольцо с идемпотентным умножением, то есть, кольцо {\displaystyle }, в котором x 2 = x {\displaystyle x^{2}=x} для всех x ∈ R {\displaystyle x\in R}.

                                               

Длина модуля

Длина модуля - способ измерения "размера" модуля, обобщающий понятие размерности векторного пространства. Длина определяется как максимальная длина цепочки вложенных подмодулей.

                                               

Единица (алгебра)

Единица в теории колец - двусторонний нейтральный элемент операции умножения. Кольцо, содержащее единицу, называется кольцом с единицей. Обозначается единица, как правило, цифрой "1" или иногда, латинской буквой I или E. Разные определения алгебр ...

                                               

Кольцо (математика)

Кольцо в общей алгебре - алгебраическая структура, в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются совокупности чисел, сово ...

                                               

Кольцо Безу

Кольцо Безу - это всякая область целостности, в которой каждый конечнопорождённый идеал является главным. Из этого определения следует, что кольцо Безу нётерово тогда и только тогда, когда оно кольцо главных идеалов, обобщением которых кольца Без ...

                                               

Кольцо Куммера

В общей алгебре кольцо Куммера Z } - это подкольцо кольца комплексных чисел, каждый элемент которого имеет вид n 0 + n 1 ζ + n 2 ζ 2 +. + n m − 1 ζ m − 1 {\displaystyle n_{0}+n_{1}\zeta +n_{2}\zeta ^{2}+.+n_{m-1}\zeta ^{m-1}\ } где ζ - m th корни ...

                                               

Максимальный идеал

Множество всех идеалов кольца индуктивно упорядочено по отношению включения, поэтому Лемма Цорна во всяком кольце максимальные идеалы существуют, более того, для всякого собственного идеала I кольца R существует максимальный идеал кольца R, котор ...

                                               

Неприводимый элемент

Неприводимый элемент - одно из основных понятий теории колец. Пусть R - область целостности, т.е. коммутативное кольцо без делителей нуля. Элемент p≠ 0 называется неприводимым, если он не является обратимым и из равенства p=bc, следует, что либо ...

                                               

Нётерово кольцо

Нётерово кольцо - ассоциативное кольцо А с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва возрастающих цепей: всякая последовательность идеалов p 1 ⊂ p 2 ⊂ ⋯ ⊂ p n ⊂ … {\displaystyle p_{1}\subset p_{2}\subset \dots \subset p_ ...

                                               

Нильпотентный идеал

Нильпотентный идеал - односторонний или двусторонний идеал M {\displaystyle M} кольца такой, что для некоторого натурального n {\displaystyle n} выполняется M n = { 0 } {\displaystyle M^{n}=\{0\}}, то есть произведение любых n {\displaystyle n} э ...

                                               

Подкольцо

Подкольцо кольца K {\displaystyle K} - это пара {\displaystyle }, где R {\displaystyle R} - кольцо, а i: R ↪ K {\displaystyle i:R\hookrightarrow K} - мономорфизм колец. Такое определение согласуется с общим понятием подобъекта в теории категорий. ...

                                               

Полупростой модуль

Полупростые модули - общеалгебраические модули, которые можно легко восстановить по их частям. Кольцо, являющееся полупростым модулем над самим собой, называется артиновым полупростым кольцом. Важный пример полупростого кольца - групповое кольцо ...

                                               

Почтикольцо

Почтикольцо - алгебра ⟨ R, ⋅, + ⟩ {\displaystyle \langle R,\cdot,+\rangle }, бинарные операции сложения и умножения в которой обладают свойствами: ⟨ R, + ⟩ {\displaystyle \langle R,+\rangle } - группа не обязательно абелева; ⟨ R, ⋅ ⟩ {\displaysty ...

                                               

Простое кольцо (алгебра)

Простое кольцо - кольцо R {\displaystyle R}, такое, что R 2 ≠ { 0 } {\displaystyle R^{2}\neq \{0\}} и в R {\displaystyle R} нет двусторонних идеалов, отличных от R {\displaystyle R} и { 0 } {\displaystyle \{0\}}.

                                               

Простой идеал

Простой идеал в теории колец - такой идеал I {\displaystyle I} кольца A {\displaystyle A}, факторкольцо A / I {\displaystyle A/I} по которому является областью целостности. Равносильная формулировка: если I ≠ A {\displaystyle I\neq A} и из a b ∈ ...

                                               

Простой модуль

В теории колец, простой модуль над кольцом R - это модуль над R, не имеющий ненулевых собственных подмодулей. Эквивалентно, модуль является простым тогда и только тогда, когда любой циклический модуль, порожденный одним его элементом, совпадает с ...

                                               

Простой элемент

Простой элемент ― обобщение понятия простого числа на случай произвольного коммутативного моноида с двусторонним сокращением, определяется как не являющийся делителем единицы ненулевой элемент p ∈ G {\displaystyle p\in G}, такой, что произведение ...

                                               

Совершенное поле

В общей алгебре, поле k называется совершенным если выполняется одно из следующих эквивалентных условий: 1) Любой неприводимый многочлен над k имеет различные корни в алгебраическом замыкании k. 2) Каждое конечное расширение k является сепарабель ...

                                               

Тело (алгебра)

Тело - кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим. Иными словами, это множество с двумя операциями, обладающее следующими свойствами: имеет место дистрибутивность умножения относительно сложения. образует абелеву группу относит ...

                                               

Универсальная обёртывающая алгебра

Универсальная обёртывающая алгебра - ассоциативная алгебра, которая может быть построена для любой алгебры Ли, перенимающая многие важные свойства исходной алгебры, что позволяет применить более широкие средства для изучения исходной алгебры.

                                               

Упорядоченное кольцо

Упорядоченное кольцо в общей алгебре - это кольцо R {\displaystyle R}, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями кольца. Наиболее практически важными примерами являются кольцо целых чисел Z {\displaystyle ...

                                               

Факториальное кольцо

Факториальное кольцо - область целостности, в которой каждый ненулевой элемент x либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов x = p 1 ⋯ p n, с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обрати ...

                                               

Факторкольцо

Факторкольцо - общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на ...

                                               

Эндоморфизм Фробениуса

Эндоморфизм Фробениуса - эндоморфизм коммутативного кольца простой характеристики p {\displaystyle p}, задаётся формулой x ↦ x p {\displaystyle x\mapsto x^{p}}. В некоторых случаях, например, в случае конечного поля, эндоморфизм Фробениуса являет ...

                                               

Инвариант Казимира

Инвариант Казимира - примечательный элемент центра универсальной обёртывающей алгебры Ли. Назван по имени голландского физика Хендрика Казимира. Примером является квадрат оператора момента импульса, который является инвариантом Казимира трёхмерно ...

                                               

Матрица Картана

В математике термин матрица Картана имеет три значения. Все они названы по имени французского математика Эли Картана. Фактически, матрицы Картана в контексте алгебр Ли впервые исследовал Вильгельм Киллинг, в то время как форма Киллинга принадлежи ...